INFO - Informacie o MFF UK

Specializacia: Ekonomicka a financna matematika (IS: 642131)

Specializacia: Ekonomicka a financna matematika 

Gestor: Prof. RNDr. Pavol Brunovsky, DrSc.
               
Predmety: Matematicky zaklad 
          Ekonomicke a financne modely
          Operacna analyza   


Predmet:Matematicky zaklad

Linearna algebra a geometria.


Riesenie systemu linearnych rovnic (SLR): Riesenie homogenneho a nehomogenneho
SLR, kriteria riesitelnosti.  Struktura mnoziny rieseni SLR. Konecnorozmerna
"Fredholmova alternativa".

Linearne transformacie, matica linearnej transformacie: Transformacia suradnic,
inverzna transformacia a jej matica,  invariantne podpriestory, vlastne cisla a
vlastne vektory, charakteristicky polynom, prva a druha veta o rozklade, 
Jordanov kanonicky tvar.

Afinne priestory: Afinne podpriestory, linearne variety, priamka a nadrovina,
linearne funkcionaly a nadroviny,  parametricke a vseobecne rovnice linearnych
variet, transformacia afinnych suradnic.

Euklidovske bodove priestory: Vzdialenosti a uhly medzi linearnymi varietami.

Teoria matic: Ortogonalne matice, QR - rozklad a metoda najmensich stvorcov,
symetricke, pozitivne definitne  matice, extremalne vlastnosti vlastnych cisel,
singularny rozklad a pseudoinverzne matice.

Matematicka analyza a diferencialne rovnice. 

Funkcie jednej a viac premennych: Spojitost, diferencovatelnost, derivacia v
smere, totalny diferencial. Funkcie  zadane implicitne. Veta o inverznej
funkcii.

Optimalizacia funkcii viac premennych: Volne a viazane extremy funkcii viac
premennych. Nutne a postacujuce  podmienky. Lagrangeove multiplikatory a ich
geometricky vyznam. 

Teoria integrovania: Riemannov a Lebesgueov integral. Parametricke integraly. 
Spojitost a diferencovatelnost  parametrickych integralov. Gamma funkcia a jej
zakladne vlastnosti. Viacrozmerne integraly. Veta o substitucii.   Greenova
formula integracie per partes pre viacrozmerne integraly. 

Metricke a normovane priestory  Uplnost  a kompaktnost. Banachova veta o pevnom
bode a jej aplikacie. Komplexna analyza: Vlastnosti holomorfnych funkcii.
Liouvilleova veta a zakladna veta algebry. Priklady pouzitia  reziduovej vety
na vypocet urcitych integralov. 

Diskretne dynamicke systemy:  Rovnovazne stavy a ich stabilita Vypocet
trajektorii.  

Linearne diferencialne rovnice: Struktura rieseni a fundametalne matice.
Stabilita. Riesenie autonomnych rovnic.  Formula variacie konstant.
Klasifikacia dvojrozmernych  autonomnzch rovnic.

Nelinearne diferencialne rovnice: Rovnovazne stavy a ich stabilita. Trajektorie
autonomnych rovnic. Fazove portrety  dvojrozmernych autonomnych rovnic.  

Parcialne diferencialne rovnice prveho radu: Homogenne a nehomogenne rovnice
prveho radu. Metoda  charakteristik. 

Klasifikacia rovnic druheho radu: Parabolicke, elipticke a hyperbolicke
rovnice. Rovnica vedenia tepla, rovnica  priecneho kmitania struny. Zakon
zachovania hmoty. Black-Scholesov model ocenovania derivatov akcii. 

Parabolicke parcialne diferencialne rovnice:  Metoda Greenovej funkcie pre
Cauchyovu ulohu. Princip maxima a  porovnavania rieseni. Aplikacia na
Black-Scholesov model. Fourierova metoda separacie premennych pre  parabolicke
a hyperbolicke rovnice. Vyznam okrajovych podmienok pre ulohy na ohranicenom
intervale.

Numericke metody riesenia diferencialnych rovnic:  Metoda konecnych diferencii.

Pravdepodobnost a matematicka statistika.

Klasicka a axiomaticka definicia: Nahodne udalosti, pravdepodobnost. Podmienena
pravdepodobnost, Bayesov  vzorec. Bernouliho schema, binomicke a Poissonovo
rozdelenie. Normalne rozdelenie a jeho vlastnosti.

Nahodna premenna:  Rozdelenie pravdepodobnosti, distribucna funkcia nahodnej
premennej, stredna hodnota a  disperzia nahodnej premennej, ich zakladne
vlastnosti.

Diskretne a spojite nahodne premenne: Nahodne vektory, stredna hodnota a
kovariancna matica nahodneho vektora.  Korelacny koeficient a jeho zakladne
vlastnosti. Nahodny vyber a jeho zakladne charakteristiky.

Parametricke triedy rozdeleni: Trieda normalnych rozdeleni. Vlastnosti a
rozdelenie aritmetickeho priemeru a  vyberovej disperzie pri nahodnom vybere z
normalneho rozdelenia.

Nevychylene odhady:  Raova-Cramerova nerovnost. Metoda najmensich stvorcov a
metoda maximalnej  vierohodnosti.

Testovanie statistickych hypotez: Testy o parametri binomickeho rozdelenia.
Studentov jednostranny, dvojstranny a  parovy t-test. Porovnanie strednych
hodnot a disperzii dvoch normalnych rozdeleni.


Predmet: Ekonomicke  financne modely

Zakladna ekonomicka teoria.

Zakladne pojmy a metodologicke uvahy Ekonomia, narodohospodarska teoria,
hospodarske modely. Rovnovaha a  nerovnovaha. Statika, komparativna statika a
dynamika. Zasada ceterus paribus, mikroekonomia versus  makroekonomia.

Historia ekonomie  Predchodcovia, klasika, neoklasika, od Keynesa po sucasnost.

Narodohospodarske uctovnictvo Quesnayov model kolobehu, aspekty teorie kolobehu
v narodohospodarskom  uctovnictve, meranie narodneho produktu

Klasicko- neoklasicka teoria Produkcna funkcia, podniky, domacnosti, trh prace,
kapitalovy trh, trh statkov,  kvantitativna  teoria penazi, vseobecny
klasicko-neoklasicky model

Keynesovska teoria Efektivny dopyt, spotrebny dopyt, investicny dopyt, model
dochodkpv a vydavkov, zakladny  multiplikator, model IS/LM, vseobecny
Keynesovsky model, investicna pasca, pasca likvidity, Keynesovsky model s 
nepruznymi mzdami



Mikroekonomia. 

Spotrebitel:  Preferencie a funkcia uzitocnosti. Rovnovaha spotrebitela.
Marshallovska a        Hicksovska dopytova  funkcia: Sluckeho rovnica. Analogie
s teoriou firmy.

Rovnovaha na ciastkovom trhu v dokonalej sutazi: Kratkodoba rovnovaha a
rovnovaha pri     volnom vstupe na trh.  Vplyv dani a dotacii. Spotrebitelov a
vyrobcov prebytok.

Nedokonala sutaz: Rovnovaha monopolu a jeho neefektivita. Cournotova rovnovaha
oligopolu a jeho stabilita.  Nashova rovnovaha. Nestabilita kartelu.

Rovnovaha uplneho trhu: Walrasov zakon a zelatelnost. Walrasova rovnovaha a jej 
Paretova optimalita.   Edgeworthov obdlznik. Externality a vlastnicke prava.

Dynamicka makroekonomia.

Solowov model ekonomickeho rastu a jeho modifikacia: Zakladny Solowov model.
Model so zohladnenim  technickeho pokroku. Optimalny rast.

Model rastu s prekryvajucimi sa generaciami: Vnutrogeneracne (intertemporal) a 
medzigeneracne (intratemporal)  alokacie.   Rovnovazne urokovanie.
Normalizovana agregovana funkcia uspor. Kompetitivna     rovnovaha. 
Ricardovska ekvivalencia.

Prekryvajuce sa generacie s produktivnym kapitalom: Dotovane a nedotovane
socialne     poistenie. Zataz statneho  dlhu.

Teoria financii.

Podnikove financie:  Uctovne vykazy. Suvaha a vykaz ziskov a strat. Pomerove
ukazovatele. Pritomna hodnota  buducich hotovostnych tokov. Ocenovanie
obligacii a akcii.

Teoria portfolia: Funkcia uzitocnosti, averzia k riziku, optimalny vyber
portfolia maximalizaciou strednej hodnoty  funkcie uzitocnosti. Markowitzov
model. Minimalizacia rizika pri fixnej navratnosti, optimalizacia portfolia 
obsahujuceho bezrizikovy cenny papier, trhova cena rizika. Capital Asset
Pricing Model ako rovnovazny model,  Capital Market Line, Security Market Line.

Pravdepodobnostny pohlad na ocenovanie opcii: Binarny stromovy model, vypocet
rizikovo neutralnych  pravdepodobnosti a hodnoty derivatu na ich zaklade. 

Wienerov proces: Difuzne a Itoove procesy. Itova lema, stochasticka
diferencialna rovnica pre vyvoj ceny akcie. 

Ocenovanie opcii prostrednictvom PDR: Europske call a put opcie, princip
delta-hedging, Blackova-Scholesova  rovnice. Explicitna a implicitna schema na
numericke riesenie Europskych call a put opcii, put-call parita. Uloha 
ocenovania americkych opcii ako uloha s volnou hranicou a numericke metody jej
riesenia. Ocenovanie opcii s  uvazenim transakcnych vydavkov. 


Ocenovanie dlhopisov: Black-Scholesove rovnice pre ocenovanie bezkuponovych a
kuponovych dlhopisov.  Konvertibilne dlhopisy, metody ich ocenovania pri
deterministickom a pri stochastickom vyvoji urokovej miery.  Opcie na dlhopisy,
swapy, forwardove kontrakty a futurity.

Ekonometria.

Jednoducha linearna regresia: Vypocet odhadov metodou najmensich stvorcov,
inferencia, predikcia, metoda  maximalnej vierohodnosti, Analyza rezidui.
Interpretacie regresnej priamky.

Linearny  model vo vseobecnom tvare: Odhady metodou najmensich stvorcov (OLS) a
ich vypocet, zovseobecnene  (Aitkenove) odhady metodou najmensich stvorcov
(GLS). Gauss-Markovova veta.

Mnohorozmerne normalne rozdelenie: Marginalne a podmienene rozdelenia,
rozdelenie kvadratickych foriem, testy  vyznamnosti v linearnom modeli,
predikcia.

Aplikacia na mnohonasobnu linearnu regresiu: Odhady parametrov, regresia bez
absolutneho clena, parcialne a  mnohonasobne korelacie, inferencia v
mnohonasobnej regresii, predikcia, koeficient determinovanosti.


Multikolinearita, heteroscedasticita: Metody ako ich rozpoznat a metody ako im
celit. Autokorelovane chyby,  odhady parametrov, ak chyby su AR(1), testy
serialnej korelacie a jej priciny (Durbinov-Watsonov test).


Predmet: Operacna analyza

Linearne programovanie.

Polyedricke mnoziny:  Charakterizacia neohranicenosti. Krajne body mnozin  {x|
Ax<=b} a {x| Ax=b, x>=0}.  Tvrdenie o vyjadreni steny.  Veta o reprezentacii
polyedrickej mnoziny.      

Simplexova metoda:  Geometricka idea. Simplexova tabulka a algoritmus.
Konecnost simplexovej metody,  anticyklicka metoda. Dualna simplexova metoda.
Revidovana simplexova metoda.

Teoria duality:  Vseobecny tvar dualnej ulohy. Slaba veta o dualite a jej
dosledky. Silna veta o dualite. Veta o  komplementarite.  Aplikacie duality  (
sustavy linearnych rovnic a nerovnic, overovanie optimality).  Ekonomicka 
interpretacia duality.


Algoritmy na sietach.

Prieskum grafov a digrafov (labyrintove algoritmy):  Hladanie komponentov
suvislosti a silnych   komponentov  digrafu.  Silne suvisla orientacia grafov a
migrafov.

Optimalne sledy:  Algoritmy pre najkratsie cesty, najsirsia cesta,
najspolahlivejsia cesta.

Toky: Fordov-Fulkersonov algoritmus. Veta o max. toku a min. reze. Toky pri
dolnych medziach. Najlacnejsi  maximalny tok.. 

Navrhovanie optimalnych sieti  Najlacnejsia kostra grafu resp. digrafu  -
algoritmy.  Casova a nakladova analyza  projektu

Diskretna optimalizacia.

Algoritmy celociselneho programovania  Metody rezov (Gomoryho dualne algoritmy,
primarny algoritmus), metody  vetiev a medzi  (implicitna enumeracia).

Veta o reprezentacii konvexneho obalu mnoziny celociselych bodov polyedrickej
mnoziny.

Polynomialne transformacie roznych diskretnych uloh: NP-tazke optimalizacne
ulohy. Aproximacne  problemy. 

Nelinearne programovanie.

Optimalizacne metody (Prehlad a zakladne principy): Minimalizacia funkcie
jednej premennej. Minimalizacia  funkcie n-premennych (gradientova metoda,
Newtonova metoda, metoda zdruzenych gradientov a  kvazinewtonovske metody).

Nutne podmienky optimality: Lagrangeova veta a veta o senzitivnosti pre
klasicku ulohu na viazany extrem. Kuhn- Tuckerova veta pre ulohu matematickeho
programovania (so zmiesanym typom ohraniceni).

Sedlove body a veta o minmaxe: Prehlad zakladnych typov extremov a sedlovych
bodov. Existencne vety pre  extrem a sedlovy bod typu "minmax". Pojem
parcialneho extremu. Vztah medzi sedlovym bodom typu "minmax" a  ulohou na
viazany extrem. Konstrukcia Lagrangeovej funkcie pre ulohu matematickeho
programovania.  Charakteristika sedloveho bodu typu "minmax" prostrednictvom
kombinovanych parcialnych extremov (tzv. veta o  "minmaxe").

Vseobecny princip duality v extremalnych ulohach: Vseobecny pojem dualnej
ulohy. (Aplikacia vety Roodeho a  vety o "minmaxe".) Vseobecna konstrukcia
dualnej ulohy v nelinearnom programovani. Pojem Lagrangeovej a  Wolfeovej
dualnej ulohy. Priklady zovseobecnenych (neklasickych) funkcii Lagrangea.

Konvexne programovanie: Veta Kuhna-Tuckera pre ulohu konvexneho programovania.
Slaba a silna veta o dualite.  Tvar dualnej ulohy k ulohe nelinearneho
programovania so zmiesanym typom ohraniceni.

Transformacne metody konvexneho programovania: Parametricke a neparametricke
transformacne metody  vnutorneho a vonkajsieho bodu. Klasifikacia a zakladne
principy.

Optimalne riadenie.

Formulacia diskretnych a spojitych uloh optimalneho riadenia (UOR): Priklady
UOR s ekonomickym obsahom.

Rovnica dynamickeho programovania (RDP) :  RDP pre diskretne UOR,
charakterizacia RDP (nutna resp. aj  postacujuca podmienka, rekurentny vztah
resp. funkcionalna rovnica) pre rozlicne typy diskretnych UOR. RDP ako  nastroj
na riesenie uloh, riesenie jednotlivych uloh. RDP pre spojite UOR z hladiska
jej porovnania s RDP pre  diskretne ulohy.

Pontrjaginov princip maxima (PPM) pre spojite UOR: PPM pre rozlicne typy
spojitych UOR. PPM ako nastroj  ekonomickej analyzy (priklad o optimalnej
spotrebe). Ekonomicka intertpretacia PPM so zameranim na interpretaciu 
adjungovanych premennych.

Ulohy variacneho poctu:  Formulacia uloh. Eulerova rovnica. Suvis uloh
variacneho poctu s UOR. Suvis Eulerovej   rovnice a PPM.

Teoria hier.

Maticove hry: Rovnovazne vystupy  v maticovych hrach s cistymi a zmiesanymi
hrami.  Riesitelnost hry dvoch  hracov.
                  
Informacna mnozina:  Hry v rozvinutom tvare. 

Hry N hracov. Jadro hry  typu C

Zoznam odporucanej studijnej literatury
k statnym zaverecnym skuskam
zo specializacie Ekonomicka a financna matematika

Matematicky zaklad

Linearna algebra a geometria:
G. Birkhoff, S. MacLane: Prehlad modernej algebry. Alfa, Bratislava 1979;
G. Strang: Linear algebra and its applications, 1976 (rusky preklad 1980);
R.A. Horn, Ch. Johnson: Matrix Analysis, 1990.

Matematicka analyza a diferencialne rovnice:
T. Neubrunn, J. Vencko: Matematicka analyza I, II. Skripta UK Bratislava;
M. Barnovska, K. Smitalova: Matematicka analyza III, IV. Skripta UK Bratislava;
Z. Kubacek, J. Valasek: Cvicenia z matematickej analyzy I, II. Skripta UK
Bratislava, (Internet  www.iam.fmph.uniba.sk/skripta/kubacek);
M. Barnovska a kol.: Cvicenia z matematickej analyzy III. Skripta UK Bratislava
(Internet  www.iam.fmph.uniba.sk/skripta/maiii);
P. Brunovsky: Dynamicke systemy a diferencialne rovnice, Skripta UK Bratislava,
(Internet  www.iam.fmph.uniba.sk/skripta/brunovsky);
G. Gandolfo: Economic Dynamics. Springer 1996;
D. Sevcovic: Parcialne diferencialne rovnice, Skripta UK, 
(Internet www.iam.fmph.uniba.sk/skripta/sevcovic);
V.J. Arsenin: Matematiceskaja fizika. Osnovnyje uravnenija i funkcii. Nauka,
Moskva 1966  (existuje slovensky preklad).

Pravdepodobnost a statistika:
F. Lamos, R. Potocky: Pravdepodobnost a matematicka statistika, statisticke 
analyzy. Alfa, 1989, Vydavatelstvo RUK, 1998;
J. Andel: Matematicka statistika, Alfa, 1978;
C.R. Rao: Linearni statisticke metody a jejich aplikace. Academia, 1979;
B. Riecan, F. Lamos, C. Lenart: Pravdepodobnost a matematicka statistika. Alfa,
1983;
T. Amemiya: Introduction to Statistics and Econometrix. Harvard Univ. Press,
1994.

Operacna analyza

Linearne programovanie:
J. Plesnik, J. Dupacova, M. Vlach: Linearne programovanie. Alfa, 
Bratislava 1990 
(a zapisy prednasok z Linearneho programovania a Diskretnej matematiky).

Algoritmy na sietach:
J. Plesnik: Grafove algoritmy. Veda, Bratislava 1983 (a zapis prednasky z 
Algoritmov na sietach).

Diskretna optimalizacia:
A.A. Koburt, J.J. Finkelstejn: Diskretnoje programmirovanije. Nauka, 
Moskva 1969 (slovensky preklad: Diskretne programovanie, Bratislava 1973) 
(a najma zapis z prednasky Diskretna optimalizacia).

Nelinearne programovanie:
M. Hamala: Nelinearne programovanie. Alfa, Bratislava 1976;
M. Hamala: Studijne texty k prednaskam z Nelinearneho programovania (rukopis
poskytnuty  studentom na xeroxovanie).

Optimalne riadenie:
P. Brunovsky: Matematicka teoria optimalneho riadenia. Alfa, Bratislava 1980;
M.I. Kamien, N.L. Schwartz: Dynamic Optimization. The Calculus of Variations
and Optimal  Control in Economics and Management. Elsevier, 1995.

Teoria hier:
P. Morris: Introduction to game theory. Springer 1994;
Chobot, Turnovec, Ulasin: Teoria hier a rozhodovania. Alfa 1991;
Osborne, Rubinstein: A course in game theory. MIT Press 1996.



Ekonomicke a financne modely

Zakladna ekonomicka teoria:
P.A. Samuelson, W.D. Nordhaus: Ekonomia I, II. Bradlo, Bratislava 1992;
B. Felderer, S. Homburg: Makroekonomika a nova makroekonomika. Elita,
Bratislava 1995.

Mikroekonomia:
F. Turnovec: Uvod do mikroekonomickej teorie. Ucebny text EU 1992;
H. Varian: Intermediate Microeconomics. Norton 1993;
H. Varian: Microeconomics Analysis. Norton 1992.

Dynamicka makroekonomia:
C. Azariadis: Intertemporal Macroeconomics. Cambridge 1993;
O. Blanchard, S. Fischer: Lectures on Macroeconomics. MIT Press;
D. Romer: Advanced Macroeconomics. McGraw Hill, 1996.



Teoria financii:
Vlachynsky  a kol.: Podnikove financie
Ross, Westerfield: Essentials of Corporate Finance. Irwin
M. Baxter, A. Rennie: Financial Calculus. Cambridge 1996;
D. Luenberger: Investment Science. Oxford;
P. Wilmot, S. Howison, J. Dewyne: The Mathematics of Financial Derivatives.
Cambridge 1995.
J. Hull: Options, futures and other derivative securities. Prentice Hall 1989;
J. Komornik, M. Komornikova a K. Mikula: Modelovanie ekonomickych a financnych
procesov.  Skripta UK 1997.


Ekonometria:
G.S. Maddala: Econometrics. Auckland, MsGraw-Hill, 1977;
H. Theil: Principles of Econometrics. Amsterdam, North-Holland, 1977
(existuje polsky preklad);
J. Kmenta: Elements of Econometrics. New York, Macmillan, 1971;
T. Cipra: Ekonometrie. Skripta MFF UK Praha, SPN, 1984.

Dátum poslednej aktualizácie tohto dokumentu: 29.4.99.
Posledná aktualizácia údajov v systéme: 091006-V393.