1-INF-950 Matematika

Obsahová náplň štátnicového predmetu:

Algebra

1. Vektorové priestory, lineárne zobrazenia [priestor, podpriestor, lineárna závislosť, báza a dimenzia. Steinitzova veta, súčty podpriestorov, lineárne zobrazenia, kompozícia lineárnych zobrazení, inverzné lineárne zobrazenia, matica lineárneho zobrazenia, jadro a obraz lineárneho zobrazenia.

2. Matice a riešenia lineárnych rovníc nad poľom F [matice, operácie s maticami (násobenie, sčítanie), elementárne riadkové operácie, trojuholníkový a redukovaný trojuholníkový tvar matice, systémy lineárnych rovníc nad poľom F, množina riešení homogénnych a nehomogénnych systémov lineárnych rovníc, existencia a tvary riešení]

3. Determinanty. [Determinant lineárneho zobrazenia a matice. Vlastnosti determinantov. Výpočty determinantov a ich použitie pri riešení lineárnych rovníc a hľadaní inverznej matice]

4. Grupy [grupy, podgrupy, izomorfizmus a homomorfizmus grúp, cyklické grupy (s klasifikáciou) a ich podgrupy, grupy permutácií, rozklad grupy podľa podgrupy, Lagrangeova veta, homomorfizmus a izomorfizmus grúp, normálna podgrupa, faktorizácia grupy podľa podgrupy]

5. Okruhy [základné vlastnosti operácií v okruhoch, podokruh, ideál (hlavný, maximálny, prvoideál), faktorizácia okruhu podľa ideálu, vzťah medzi výsledkom faktorizácie a vlastnosťami ideálu, podľa ktorého sa faktorizuje, obor integrity a veta o podielovom poli]

6. Okruhy hlavných ideálov [existencia jednotky v okruhu, najväčší spoločný deliteľ, vlastnosti deliteľnosti, ireducibilné prvky, veta o jednoznačnom rozklade]

7. Okruhy polynómov [pojem algebraického a transcendentného prvku pre daný okruh, okruh polynómov R[x], okruh polynómov F[x] nad poľom F ako okruh hlavných ideálov, veta o jednoznačnom rozklade polynómov nad daným poľom, substitučný homomorfizmus (veta o substitúcii), korene, viacnásobné korene, Hornerova schéma, derivácia, Taylorov rozvoj]

8. Rozšírenia polí [jednoduché, viacnásobné a konečné rozšírenie poľa, vzťah medzi nimi, minimálny polynóm daného algebraického prvku, transcendentné rozšírenie]

9. Konečné polia [harakteristika poľa, rozkladové pole daného polynómu nad daným poľom, veta o existencii a izomorfizmus rozkladových polí, konečné polia - veta o existencii a izomorfizme konečných polí.]

Úvod do diskrétnych štruktúr

1. Základy matematickej logiky [logické operácie, formuly, výrokové funkcie, kvantifikácia výrokov, autógia, kontradikcia]

2. Matematický dôkaz [logický dôsledok, základné typy matematickych dôkazov]

3. Intuitivný pojem množiny [základné pojmy a označenia, množinové operácie. Množinové identity]

4. Karteziánsky súčin množín a jeho vlastnosti.

5. Relácie [skladanie relácií, inverzná relácia, relácie na množinách. Relácia ekvivalencie, rozklad množiny. Tranzitívny uzáver relácie, reflexívno-tranzítivny uzáver. Definicia, vlastnosti.]

6. Čiastočné usporiadanie a usporiadanie množiny (ostré a neostré). [Definícia, vlastnosti usporiadania, minimálny, maximálny, prvý a posledný prvok množiny]

7. Zobrazenia.

8. Mohutnosť množiny. [Základné vlastnosti mohutnosti a nerovnosti. Počítanie s mohutnosťami, súčet, súčin a mocnina.]

9. Cantor-Bernsteinova veta a jej dôsledky.

10. Konečné a nekonečné množiny.

11. Spočítateľné a nespočítateľné množiny.

12. Aritmetika celých nezáporných čísel.

Úvod do kombinatoriky a teórie grafov

1. Prirodzené čísla a matematická indukcia

2. Dirichletov princíp

3. Pravidlo súčtu a pravidlo súčinu

4. Variácie a enumerácia zobrazení

5. Kombinácie bez opakovania a enumerácia podmnožín

6. Binomická veta s prirodzeným aj reálnym exponentom

7. Rovnosti a nerovnosti s kombinačnými číslami

8. Kombinácie s opakovaním

9. Polynomická veta

10. Princíp zapojenia a vypojenia

11. Odhady čísla n!

12. Hierarchia rastu funkcií

13. Stromy, lesy a kostry

14. Súvislé grafy, komponenty a meranie vzdialeností v grafe

15. Eulerovské grafy

16. Bipartitné grafy

17. Meranie vrcholovej a hranovej súvislosti grafu

18. Hamiltonovské grafy

Úvod do matematickej logiky

1. Výstavba logickej teórie [Jazyk logiky, formálne systémy logiky]

2. Výroková logika [Syntax a sémantika výrokovej logiky. Formálny systém výrokovej logiky]

3. Základné vety výrokovej logiky [Veta o kompaktnosti a jej dôsledok, veta o dedukcii. Základné teorémy výrokovej logiky]

4. Postova veta [slabá forma, silná forma]

5. Bezospornosť formálneho systému.

6. Pravidlá odvodenia vo výrokovej logike [Veta o nahradení podformúl ekvivalentnými formulami. De Morganove pravidlá. Veta o dôkaze rozborom prípadov. Veta o substitúcii prvotných formúl.]

7. Disjunktívna a konjunktívna normálna forma formuly.

8. Predikátová logika. [Jazyk predikátovej logiky. Sémantika a syntax predikátovej logiky. Substitúcia termov za premenné.Voľné a viazané premenné.]

9. Axiómy a pravidlá odvodenia predikátovej logiky. [Pravidlá zavedenia kvantifikátorov.Veta o uzávere. Lema o distribúcii kvantifikatorov.Veta o ekvivalencii. Veta o variantoch. Veta o dedukcii. Dôsledky vety o dedukcii. Veta o konštantach. Zovšeobecnená veta o dedukcii a jej dôsledok.]

10. Prenexný a Skolemov tvar formuly.

11. Rovnosť [Axiómy rovnosti. Základné vlastnosti rovnosti. Príklady teórií s rovnosťou.]